14.2 圆周角定理与圆的切线考情分析考查圆的切线定理和性质定理的应用．基础知识1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．(3)圆周角定理的推论① 同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．② 半圆(或直径)所对的圆周角是 90°；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离 d 与圆的半径 r 的关系相交两个d ＜ r 相切一个d＝r相离无d ＞ r (2)切线的性质及判定① 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．② 切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论① 定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．② 推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．题型一 圆周角的计算与证明【例 1】如图，AB 为⊙O 的直径，弦 AC、BD 交于点 P，若 AB＝3，CD＝1，则 sin∠APB＝________.解析 连接 AD，BC.因为 AB 是圆 O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD 中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又 CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以 cos∠DAP＝.又 sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝.答案 【变式 1】 如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点 ，且 AB＝4，∠ACB＝30°，则圆 O 的面积等于________．解析 连接 AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB 为等边三角形，故圆 O 的半径 r＝OA＝AB＝4，圆 O 的面积 S＝πr2＝16π.答案 16π题型二 弦切角定理及推论的应用【例 2】如图，梯形 ABCD 内接于⊙O，AD∥BC，过 B 引⊙O 的切线分别交 DA、CA 的 延长线于 E、F.已知 BC＝8，CD＝5，AF＝6，则 EF 的长为________． 解析 BE 切⊙O 于 B，∴∠ABE＝∠ACB.又 AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ ABC，∴＝.又 AE∥BC，∴＝，∴＝.又 AD∥BC，∴＝，∴AB＝CD，∴＝，∴＝，∴EF＝＝.答案 【变式 2】如图，已知圆上的弧＝，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明 (1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为 EC 与圆相切...
