2014 年高中数学 1.1.2 余弦定理教案（一）新人教 A 版必修 5 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 1．1-5，设，，，那么，则 C B 从而 (图 1．1-5)同理可证 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即；；。思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；② 已知三角形的三条边就可以求出其它角。③ 若 A 为直角，则 cosA=0，从而 b2+c2=a2；若 A 为锐角，则 cosA>0, 从而 b2+c2>a2；若 A 为钝角，则 cosA﹤0, 从而 b2+c2﹤a2思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[例题分析]例 1．在ABC 中，已知，，，求 b 及 A⑴ 解： 1=cos==∴总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵ 解法一： cos∴解法二： sin又 ＞＜∴＜，即＜＜∴评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。变式引申：在△ABC 中，已知 b =5,c=5,A=300,解三角形。例 2．在ABC 中，已知，，，解三角形（见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：cos；cos2；总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC 中，a:b:c=2::(+1),求 A、B、C。让学生板练，师生共同评判例 3：在△ABC 中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。 （教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关...
