2014 年高中数学 3.3.2 简单线性规划问题 新人教 A 版必修 5备用习题1.某糖果厂生产 A、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹调的设备至多只能用 30 小时，包装的设备只能用 15 小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？分析：找约束条件，建立目标函数.解：设生产 A 种糖果 x 箱，B 种糖果 y 箱，可获得利润 z 元，则此问题的数学模式在约束条件下 ， 求 目 标 函 数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界 OA：y=0，AB：3x+y-900=0，BC：5x+4y- 1 800 =0，CD：x+2y-720=0，DO：x=0.由 z=40x+50y,得，它表示斜率为，截距为 z[]50 的平行直线系，越大，z越大，从而可知过 C 点时截距最大，z 取得了最大值.解方程组C(120,300).z ∴max=40×120+50×300=19 800,即生产 A 种糖果 120 箱，生产 B 种糖果 300 箱，可得最大利润19 800 元.点评：由于生产 A 种糖果 120 箱，生产 B 种糖果 300 箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为 120＋2×300＝720（分），烹调时间 5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间 3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究.2.甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表：甲乙丙维生素 A（单位/千克）600700400维生素 B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用 x 千克甲种食物，y 千克乙种食物 ，z 千克丙种食物配成 100 千克的混合食物，并使混合食物至少含 56 000 单位维生素 A 和 63 000 单位维生素 B.（1）用 x、y 表示混合食物成本 C；（2）确定 x、y、z 的值，使成本最低.分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.解:（1）依题意 x、y、z 满足 x+y+z=100 z=100-x-y.1∴成本 C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.（2）依题意z=100-x-y,∴作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立交点 A(50,20).作直线 7x+5y+400=C，则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过 A(50,20)时，直线在 y轴截距最小，从而 C 最小，此时 7×50＋5×20＋400＝C＝850 元.x=50∴千克，z=30 千克时成本最低.2
