第三章 间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算 知识点一 空间向量概念的应用 给出下列命题：① 将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；② 若空间向量 a、b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；③ 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，必有 AC=; ④ 若空间向量 m、n、p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；⑤ 空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；② 假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量 a 与 b 的方向不一定相同；与A1C1与A1C1的方向相同，模也相等，应有AC＝A1C1；④ 真命题．向量的相等满足递推规律；⑤ 假命题．空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选 C.答案 C知识点二 空间向量的运算化简：（ ） ( )解 方法一 （ ）()=+=+++=（+）+（+）=+=0。方法二 （）()=+=（）+（）=+=0。在四面体 ABCD 中，M 为 BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设 AB=b AC=c AD=d，试用b，c，d 表示向量，、，，和。解 如图所示=+=db,=+=cb,=+=dc,=(+)=(b d+cd)= (b+c2d),=+=d+,=d+( b+c2d)=(b+c+d).知识点三 证明共线问题 已知四边形 ABCD 是空间四边形，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且=,=.求证：四边形 EFGH 是梯形. 证明 E、H 分别是 AB、AD 的中点所以 =,=,=-= =()==（-）={-}=（）=,∴四边形 EFGH 是梯形.知识点四 证明共面问题正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1和 A1D1的中点.证明：向量，，是共面向量.证明 方法一 如图所示.=+ += +-=（ ）。由向量共面的充要条件知，，，是共面向量。方法二 连结 A1D、BD，取 A1D 中点 G，连结 FG、BG(如图所示)，则 有 FGDD1 ， BE DD1，∴FGBE.∴四边形 BEFG 为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面 A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面 A1BD.∴，，都与平面 A1BD 平行∴，，共面.知识点五 数量积的运算 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，计算（1）·;(2) ·;(3) ·.解 (1 ）·=·||=||·||·cos<·>60°=,所以·=,（2）·=||·||·cos<,>=×1×1×...
