§3.2 立体几何中的向量方法 (二)—— 利用向量方法求角知识点一 求异面直线所成的角 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都是 1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F 分别为 A1B1与 BB1的中点，求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值．解 如图所示，解 如图所示，设 = a， = b， = c.则| a | = | b | = | c | =1，〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60°,∴a·b = b·c = a·c = ，而 = + = a + c. = + = b + c,∴|| ＝ ＝ ，| | ＝.∴· ＝·＝a·b－a·c－b·c＋c2＝，cos〈，〉＝= , ∴异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值是.【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 A1D1、A1C1 的中点．求：异面直线AE 与 CF 所成角的余弦值．解 不妨设正方体棱长为 2，分别取 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，得|| ＝，|| ＝.∴ ·＝－1＋0＋4＝3.又 · = ||·||·cos 〈,〉= cos〈,〉,∴cos〈,〉=,∴异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为知识点二 求线面角 正三棱柱 ABC—A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角．解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，取 A1B1中点 M，则 M，连结 AM、MC1，有＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，由于· = 0，· = 0，∴MC1⊥面 ABB1A1.∴∠C1AM 是 AC1与侧面 A1B 所成的角 θ. = , ＝，∴·＝0＋＋2a2＝.而|| ＝＝a，||＝＝a，∴cos〈 , 〉＝＝.∴〈 ， 〉＝30°，即 AC1与侧面 AB1所成的角为 30°.方法二 (法向量法)(接方法一)＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，设侧面 A1B 的法向量 n＝(λ，x，y)．∴n·＝0 且 n·AA1＝0∴ax＝0，且 ay＝0.∴x＝y＝0，故 n＝(λ，0,0)． ＝，∴cos〈, n〉＝.设所求线面角为 θ，则 sinθ＝|cos〈.，n〉|＝，θ＝30°.【反思感悟】】 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法...
