§3.2 立体几何中的向量方法(三)—— 利用向量方法求距离知识点一 求两点间的距离 已知矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，沿对角线 AC 折叠，使面 ABC 与面 ADC 垂直，求 BD 间的距离．解 方法一 过 D 和 B 分别作 DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F，则由已知条件可知 AC＝5，∴DE＝＝，BF＝＝. AE＝＝＝CF，∴EF＝5－2×＝，∴＝DE＋＋FB.||2＝ (DE＋B1E＋FB)2＝DE2＋ 2＋FB2＋2DE·＋2DE·FB＋2·FB. 面 ADC⊥面 ABC，而 DE⊥AC，∴DE⊥面 ABC，∴ DE⊥BF, DE ⊥FB,||2＝DE2＋B1E2＋FB2＝＋＋＝，∴||＝.故 B、D 间距离是.方法二 同方法一．过 E 作 FB 的平行线 EP，以 E 为坐标原点，以 EP，EC，ED 所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图．则由方法一知 DE＝FB＝，EF＝，∴D，B，∴＝，| |＝ ＝.【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a 通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式 d＝求解． 如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD⊥平面ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0＜a＜ )．(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时，MN 的长最小．解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1) CM＝BN＝a(0
