空间向量与立体几何复习与小结 教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）题型探析1、利用空间向量证明平行、垂直问题 例 1、 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E 是PC 的中点，作 EF⊥PB 于点 F。（1）证明：PA//平面 EDB；（2）证明：PB⊥平面 EFD； （3）求二面角 C—PB—D 的大小。如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点。设 DC=a。（1）证明：连接 AC，AC 交 BD 于 G，连接 EG。依题意得。 底面 ABCD 是正方形。∴G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为，1∴则而，∴PA//平面 EDB。（2）依题意得 B（a，a，0），又，故∴PB⊥DE 由已知 EF⊥PB，且，所以 PB⊥平面 EFD。（3）解析：设点 F 的坐标为，则从而所以由条件 EF⊥PB 知，，即，解得∴点 F 的坐标为，且∴即 PB⊥FD，故∠EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角。 ，且2∴∴∠EFD=60°所以，二面角 C—PB—D 的大小为 60°。点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．（2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．（3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．2、用空间向量求空间角 例 2、 正方形 ABCD—中，E、F 分别是，的中点，求：（1）异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值；（2）二面角 C—AE—F 的余弦值的大小。解析：不妨设正方体棱长为 2，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得又，3∴，即所求值...
