《高中数学研究性学习案例》一个数学问题的探究与推广1.问题2006 年 全 国 高 考 理 科 数 学 试 题 的 一 道 选 择 题 为 ： 设 集 合，选择 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A中最大的数，则不同的选择方法共有（A）50 种 （B）49 种 （C）48 种 （D）47 种 答案为（B）49 种．该题涉及的知识并不多，主要是集合、加法原理和乘法原理，题目着重考查分析问题和解决问题的能力。2.问题的推广从发散型思维的角度对该问题进行推广，可得问题的一般性的结果及其计数公式：推广 1 设集合，，选择 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选法共有种；证明：先考虑当 k 为 A 中最大数时满足条件的 A 和 B 的选法有多少种．设 k为 A 中最大的数，由条件易知 设 A=A1，A1是的任一子集（时 A1为空集），则 A1有种，故当 k 为 A 中最大的数时，A 有种选法；对于其中每一个选定的 A，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数 k，当且仅当 B 为的非空子集，故 B 有种选法．由乘法原理得，当 k 为 A 中最大的数时，满足条件的 A 和 B 的选法有=种，令 =，相加即得满足条件的选法共有=种．用心 爱心 专心例如，上述高考题即为推广中的特例，结果为1．2 问题的多角度推广对问题从多角度思维，进一步拓宽思维层面，可以对问题进行多角度的形式多样的推广，从而使我们对原问题能够有更深入全面地认识。推广 设集合，，选择 的两个非空子集 A 和 B，（ 1 ） 要 使 B 中 最 小 的 数 小 于 A 中 最 大 的 数 ， 则 不 同 的 选 法 共 有种；（2）要使 B 中最小的数不小于 A 中最大的数，则不同的选法共有种；（3）要使 B 中最小的数大于 A 中最小的数，则不同的选法共有种；（4）要使 B 中最大的数大于 A 中最大的数，则不同的选法共有种；证明（1）设 为 A 中最大的数，由条件知，同（1）可得 A 有种选法，设=， 要 使 B 中 最 小 的 数 小 于 A 中 最 大 的 数 k ， 当 且 仅 当为的非空子集（有种），且为的子集（有种），故 B 有=种选法。由乘法原理得，当为 A 中最大数时，满足条件的 A 和 B 的选择方法有种，在此式中令，相加即得满足条件的选法共有=种．例如当时，满足条件的选法共有种，这 4 种分别为① A={2}，B={1}；② A={2}，B...
