定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数在区间上是连续的，用分点将区间等分成个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间上 任 取 一 点（） ， 作 和 式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即．对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间分割的绝对任意性：在定义中我们将区间进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间的端点，实际上我们可以在区间上任意取点，如取中点等．３．当时，和式无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间的分割方法，也不依赖于在每个小区间上取点的方式．即是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同1时它也与积分变量无关，即．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间等分成个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从到 运动就形成了，， 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是，那么该物体在时间区间内通过的路程是，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为，我们把该物体运动的时间区间无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通...
