曲线和方程（2）一．课题：曲线和方程（2）二．教学目标：1.了解坐标法和解析几何的基本思路；2.能按照求曲线方程的一般步骤求曲线方程，即：建立设点、列式、坐标代换、化简、说明；3.能根据实际意义写出曲线方程的制约条件.三．教学重、难点：求轨迹方程的步骤.四．教学过程：（一）复习：曲线的方程与方程的曲线的概念.（二）新课讲解：1．有关概念与特性：（1）坐标法的概念：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.（2）解析几何的概念：用坐标法研究几何图形，代数方法研究几何问题的一门学科.（3）解析几何研究的主要问题：① 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；② 通过方程，研究平面曲线的性质.（三）例题分析：例 1．设、两点的坐标是，，求线段的垂直平分线的方程．解 ： 设是 线 段的 垂 直 平 分 线 上 任 意 一 点 ， 也 就 是 点属 于 集 合．由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为．将上式两边平方，整理得． ① 证明方程①是线段的垂直平分线的方程．（1）由求方程的过程知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解．（2）设点的坐标是方程①的解，即，．点到、的距离分别是；．∴，即点在线段的垂直平分线上，所以，由（1）、（2）可知，方程①是线段的垂直平分线的方程．说明：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（设动点）（2）写出适合条件的点的集合；（写集合）（3）用坐标表示条件，列出方程；（写方程）（4）化方程为最简形式； （化简）（5）证明求出的方程就是所求曲线的方程．（验证）例 2．点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数，求点的轨迹方程．解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系， 设点的坐标为．点的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数 的点的集合 ，其中、分别是点到 轴、轴的垂线的垂足，∴可写成，即． ①下面证明方程①是所求轨迹的方程：（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；（2）设点的坐标是方程①的解，那么，即．而、正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数 ，点是曲线上的点．所以，由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程．说明：建立适当的坐标系的原则：1．若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴．2．可以选曲线上的特殊点作为原点．例 3．已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到点...
