二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·沧州模拟)二项式展开式中的常数项是()A.180B.90C.45D.360【解析】选A.展开式的通项为Tk+1=()10-k=2k,令5-k=0,得k=2,故常数项为22=180.2.(2016·晋城模拟)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是()A.30B.20C.15D.10【解题提示】先用通项公式求(1+x)6展开式中x2项的系数,再求x(1+x)6展开式中x3项的系数.【解析】选C.(1+x)6展开式中通项Tr+1=xr,令r=2可得T3=x2=15x2,所以(1+x)6展开式中x2项的系数为15,在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为15.3.(2014·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=()A.2B.C.1D.【解题提示】考查二项式定理的通项公式.【解析】选C.因为Tr+1=·(2x)7-r·=·27-r·ar·x7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以·22·a5=84,解得a=1.4.(2016·汕尾模拟)若(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.-16B.16C.-1D.+1【解析】选B.令x=1得:a0+a1+a2+a3+a4=(1+)4,令x=-1得:a0-a1+a2-a3+a4=(-1+)4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(1+)4(-1+)4=24=16.5.(2016·亳州模拟)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.-7B.7C.-28D.28【解题提示】由只有第5项的二项式系数最大,可得出n的值,利用二项展开式求出常数项.【解析】选B.由题意可知n=8,Tr+1==(-1)r·.令8-r=0,得r=6,所以×(-1)6=7.【加固训练】(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.二项式的通项Tk+1=28-k(-1)k()k=28-k(-1)k,令k=8,则T9=(-1)8x4=x4,所以x4的系数为1,令x=1,得展开式的所有项系数和为(2-1)8=1,所以不含x4项的系数的和为0.6.(2016·保定模拟)展开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.20【解析】选C.因为=,所以Tr+1=x6-r=(-1)rx6-2r,令6-2r=0,即r=3,所以常数项为(-1)3=-20.7.(2016·怀化模拟)(1+x)10(x>0)展开式中的常数项为()A.1B.()2C.D.【解析】选D.因为(1+x)10===(x>0),所以Tr+1=()20-r=x10-r,由10-r=0,得r=10,故常数项为T11=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·石家庄模拟)(1+x)(1-x)4的展开式中x4的系数是.【解析】(1+x)(1-x)4=(1-x2)(1-x)3=(1-x2)(1-3x+3x2-x3),所以x4的系数为-3.答案:-39.设复数z=,则+·z+·z2+·z3+·z4+·z5+·z6+·z7=.【解析】由于复数z===i,所以+·z+·z2+·z3+·z4+·z5+·z6+·z7=(1+z)8-·z8=[(1+i)2]4-i8=(2i)4-(-1)4=16-1=15.答案:15【误区警示】解答本题时易出现以下错误(1)在逆用二项定理时,误将待求式认为是(1+z)8的展开式而致误.(2)对复数的运算出错而致误.10.·的展开式中x2y2的系数是.【解题提示】展开式中x2y2的项是由(1+x)8展开式中x2项与(1+y)4展开式中y2项相乘得到的.【解析】x2y2的系数为·=168.答案:168(20分钟40分)1.(5分)(2016·中山模拟)的二项展开式17个项中,整式的项数是()A.1B.3C.5D.7【解析】选B.二项展开式的通项为Tk+1==(-1)k(k∈Z,0≤k≤16),要使得它为整式,则-8与16-均为非负整数,即8≤≤16,k=6,8,10,故有三项.2.(5分)(2016·洛阳模拟)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()A.-40B.-20C.20D.40【解析】选D.令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a,所以1+a=2,所以a=1,所以==x+,所以展开式中常数项为的与x的系数和,因为展开式的通项为Tr+1=(-1)r25-rx5-2r,令5-2r=1得r=2;令5-2r=-1得r=3,所以展开式中常数项为8-4=40.3.(5分)72015+72014+72013+…+·7除以9得余数是.【解析】原式=(7+1)2015-1=82015-1=(9-1)2015-1=92015-92014+92013-…+·9-2,所以除以9所得余数为7.答案:7【加固训练】求证:4×6n+5n+1-9能被20整除.【证明】4×6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+5n-2+…+)+(4n-1+4n-2+…+)],是20的倍数,所以4×6n+5n+1-9能被20整除.4.(12分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求正数a的值.【解析】设的展开式中的常数项为Tr+1,则Tr+1==,令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=·=16,又(a2+1)n展开式的各项系数之和为2n,由题意,得2n=16,所以n=4,所以(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,从...
