第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象与 x 轴的交点( x 1,0)，( x 2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a )· f ( b )<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )答案：C2．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的零点是( )A．0,2 B．0，C．0，－ D．2，－解析：选 C 2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为 0 和－.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为( )x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：选 C 设函数 f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出 f(1)·f(2)<0，因此方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数 y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)·f(4)<0，给定精确度 ε ＝ 0.01 ， 取 区 间 (2,4) 的 中 点 x1 ＝ ＝ 3 ， 计 算 得 f(2)·f(x1)<0 ， 则 此 时 零 点x0∈________(填区间)．解析：由 f(2)·f(3)<0 可知 x0∈(2,3)．答案：(2,3)5．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是________．解析： 函数 f(x)＝x2＋x＋a 在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)<0.即 a(a＋2)<0，解得－2
