第二节等差数列及其前 n 项和 [知识能否忆起]一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－ a n＝ d (n∈N*，d 为常数)．2．等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝，其中 A 叫做 a，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：an＝a1＋ ( n － 1) d .2．前 n 项和公式：Sn＝na1＋d＝.三、等差数列的性质1．若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则 am＋an＝ap＋aq.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为 kd.3．若{an}为等差数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为 n2d.4．等差数列的增减性：d>0 时为递增数列，且当 a1<0 时前 n 项和 Sn有最小值．d<0 时为递减数列，且当 a1>0 时前 n 项和 Sn有最大值．5．等差数列{an}的首项是 a1，公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 Sn＝An2＋Bn，则 A＝，B＝a1－，当 d≠0 时它表示二次函数，数列{an}的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn 是{an}成等差数列的充要条件．[小题能否全取]1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 B 法一：设等差数列{an}的公差为 d，由题意得解得故 d＝2.法二： 在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又 a4＝7，∴公差 d＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则 sin＝( )A. B.C．－ D．－解析：选 D a2＋a6＝，∴2a4＝.∴sin＝sin＝－cos＝－.3．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数列前 11 项和 S11＝( )A．58 B．88C．143 D．176解析：选 B S11＝＝＝88.4．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项 an＝________.解析：由 an＋1＝an＋2 知{an}为等差数列其公差为 2.故 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－15．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前 n 项和，若 a1＝，S2＝a3，则 a2＝________，Sn＝________.解析：设{an}的公差为 d，由 S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即 2a1＋d＝a1＋2d，又 a1＝，所以 d＝，故 a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋(n2－n)×＝n2＋n.答案：1 n2＋n1.与前 n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知 a1、d、n、an...
