第 5 讲 椭 圆【2013 年高考会这样考】1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．【复习指导】1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．基础梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数：(1)若 a ＞ c ，则集合 P 为椭圆；(2)若 a ＝ c ，则集合 P 为线段；(3)若 a ＜ c ，则集合 P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图 形续表性 质范 围－ a ≤x≤a－ b ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b 焦距|F1F2|＝2 c 离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a 2 － b 2 一条规律椭圆焦点位置与 x 2 ， y 2 系数间的关系： 给出椭圆方程＋＝ 1 时，椭圆的焦点在 x 轴上 ⇔ m ＞ n ＞ 0 ；椭圆的焦点在 y 轴上 ⇔ 0 ＜ m ＜ n . 1两种方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定 a 2 、 b 2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条 件确定关于 a 、 b 、 c 的方程组，解出 a 2 、 b 2 ，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧(1) 椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最 小距离，且最大距离为 a ＋ c ，最小距离为 a － c . (2) 求椭圆离心率 e 时，只要求出 a ， b ， c 的一个齐次方程，再结合 b 2 ＝ a 2 － c 2 就可求得 e (0 ＜ e ＜ 1) ． (3) 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是： ① 中心 是否在原点； ② 对称轴是否为坐标轴． 双基自测1．(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 1...
