第 9 讲 曲线与方程【2013 年高考会这样考】1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．利用直接法或定义法求轨迹方程．3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．【复习指导】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。基础梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标．(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f ( x ， y ) ＝ 0 .(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．一个主题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．四个步骤对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：① 设点：即设出弦的两端点坐标； ② 代入：即代入圆锥曲线方程； ③ 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④ 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 五种方法求轨迹方程的常用方法1(1) 直接法：直接利用条件建立 x ， y 之间的关系 F ( x ， y ) ＝ 0 ； (2) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再 由条件确定其待定系数；(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的 轨迹方程；(4)...
