第 3 讲 二项式定理【2013 年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数 C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的 Can－rbr叫二项展开式的通项，用 Tr＋1表示，即通项 Tr＋1＝Can－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为 n ＋ 1 .(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C，C，一直到 C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即 C ＝ C .(2)增减性与最大值：二项式系数 C，当 k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当 n 是偶数时，中间一项 Cn取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项 Cn，Cn取得最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2 n ；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n － 1 .一个防范运用二项式定理一定要牢记通项 T r＋1＝ C a n － r b r ，注意 ( a ＋ b ) n 与 ( b ＋ a ) n 虽然相同，但具体到 它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的 ( 字母 ) 系数是两个不同的概念，前者只指 C ，而后者是字母外的部分．前者只与 n 和 r 有 关，恒为正，后者还与 a ， b 有关，可正可负． 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1) 通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2) 展开式的应用：利用展开式 ① 可证明与二项式系数有关的等式； ② 可证明不等式； ③ 可证 明整除问题； ④ 可做近似计算等． 1三条性质(1) 对称性； (2) 增减性； (3) 各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2011·福...
