第十四章 矩阵与变换第一节矩阵及其变换1．乘法规则(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法法则：[a11 a12]＝[ a 11b11＋ a 12b21] ． (2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：＝.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)C＝A(BC)．(5)AkAl＝Ak＋l，(Ak)l＝Akl(其中 k，l∈N*)．2．常见的平面变换(1)恒等变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示恒等变换．(2)反射变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(－x，y)，故矩阵表示关于 y 轴的反射变换；类似地，，，分别表示关于 x 轴、直线 y＝x 和直线 y＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的 k 倍，故矩阵表示 y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点 A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转 α 角的变换，对应的矩阵是.(5)切变变换：＝表示的是沿 x 轴的切变变换．沿 y 轴的切变变换对应的矩阵是.(6)投影变换：＝，该变换把所有横坐标为 x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵表示的是 x 轴上的投影变换．类似地，表示的是 y 轴上的投影变换．1．二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视 AB≠BA，AB＝AC⇒/ B＝C，但满足(AB)C＝A(BC)．2．易混淆绕原点逆时针旋转 90°的变换与绕原点顺时针旋转 90°的变换．[试一试]1．已知 A＝，B＝，C＝.求 AB 和 AC.解：AB＝＝，AC＝＝.2．(2014·福建龙岩模拟)已知点 A 在变换 T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转 90°，得到点 B，若点 B 的坐标为(－3,4)，求点 A 的坐标．解：＝.设 A(a，b)，则由＝，得所以，即 A(－2,3)．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．1[练一练]1．(2014·扬州模拟)已知矩阵 A＝，B＝，若矩阵 AB 对应的变换把直线 l：x＋y－2＝0 变为直线 l′，求直线 l′的方程．解：易得 AB＝＝，在直线 l 上任取一点 P(x′，y′)，经矩阵 AB 变换为点 Q(x，y)，则＝＝，∴即代入 x′＋y′－2＝0 中得 x－y＋－2＝0，∴直线 l′的方程为 4x＋y－8＝0.考点一二阶矩阵的性质与运算[典例] 求使等式＝M 成立的矩阵 M.[解] 设 M＝，则＝M＝，则⇒...
