第十章 空间向量第一节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ∈R，使 a＝λb共面向量定理若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb空间向量基本定理定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}使得 p＝x a＋y b＋z c推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x、y、z，使＝x＋y＋z且 x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b 为非零向量)；③|a|2＝a2，|a|＝.(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)向量差a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数量积a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a∥b⇒a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 夹角公式cos〈a，b〉＝1．共线向量定理中 a∥b⇔存在 λ∈R，使 a＝λb 易忽视 b≠0.2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．[试一试]1．有以下命题：①如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么 a，b 的关系是不共线；② O，A，B，C 为空间四点，且向量 OA―→，OB―→，OC―→不构成空间的一个基1底，那么点 O，A，B，C 一定共面；③已知向量 a，b，c 是空间的一个基底，则向量 a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，“如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么 a，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．答案：②③2．在下列命题中：① 若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；② 若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；③ 若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；④ 已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p ...
