第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b ＋ a ；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋ ( b ＋ c ) 减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数 λ 与向量 a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当 λ＞0 时，λa 的方向与 a的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝( λμ ) a ；(λ ＋ μ)a ＝ λ a ＋ μ a ；λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b 3．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为 AC 的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则 x－y＝________.1解析：法一：(直接法)根据图形有所以＝＋2(－)，所以＝－＋2，而＝x＋y，所以故 x－y＝－3.法二：(间接法)由 B 为 AC 的中点得＋＝2，所以＝－＋2，而＝x＋y，所以故 x－y＝－3.答案：－32．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|－＋|＝________.解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.答案：21．向量的中线公式若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则＝(＋)．2．三点共线等价关系A，P，B 三点共线⇔＝λ (λ≠0)⇔ ＝(1－t)·＋t (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔＝x＋y (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点 ，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边 AB 上的中点，若＝x＋y，则 x＋y＝________.解析： ＝－＝－，则 x＝，y＝－1∴x＋y＝－.答案：－2．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，...
