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【三维设计】2015届高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理 苏教版

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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于 1 个单位 的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b + a ;(2)结合律:(a+b)+c=a + ( b + c ) 减法求 a 与 b 的相反向量-b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数 λ 与向量 a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ=0时,λa=0λ(μ a)=( λμ ) a ;(λ + μ)a = λ a + μ a ;λ(a+b)=λ a + λ b 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点;2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个;3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图,在△OAC 中,B 为 AC 的中点,若=x+y(x,y∈R),则 x-y=________.1解析:法一:(直接法)根据图形有所以=+2(-),所以=-+2,而=x+y,所以故 x-y=-3.法二:(间接法)由 B 为 AC 的中点得+=2,所以=-+2,而=x+y,所以故 x-y=-3.答案:-32.若菱形 ABCD 的边长为 2,则|-+|=________.解析:|-+|=|++|=||=2.答案:21.向量的中线公式若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则=(+).2.三点共线等价关系A,P,B 三点共线⇔=λ (λ≠0)⇔ =(1-t)·+t (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,t∈R)⇔=x+y (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点 ,x∈R,y∈R,x+y=1).[练一练]1.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,若=x+y,则 x+y=________.解析: =-=-,则 x=,y=-1∴x+y=-.答案:-2.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,...

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