顶角是 20 度的等腰三角形有关问题的解法比较在解顶角是 20 度的等腰三角形有关问题时不难发现,它们有共同之处,就是构造适当的等边三角形进行转化。举例如下:1、(09 年压轴题)如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠A=20゜,在 AB、AC 上分别取点E、D,使∠CBD=60゜,∠BCE=50゜.求∠AED 的度数解法(一)解:如图 2,作∠CBM=20°,点 M 在 AC 上,在 AB 上取点 N,使 BN=BM,在AM 上取点 P,使 PM=MN, ∠A=20゜, AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠NBM=60°∴△BMN 为等边三角形, ∠CBM=20°∴∠BMC=∠BCM=80°∴BC=BM=BN=MN=PM∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°连接 CN,在△BMN 中, BC=BN,∠NBC=80°∴∠BCN=50°,∴点 N 就是图 1 中的点 E,连接 PB,在△PBM 中, BM=PM,∠PMB=100°∴∠PBM=40°, ∠CBM=20°∴∠CBP=60°,∴点 P 就是图 1 中的点 D,∴∠AED=50°解法二解:如图 3,作∠CBM=20°,交 AC 于点 M,连接 EM, ∠A=20°, AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM,∠NBE=60° ∠BCE=50°∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°∴BE=BC=BM∴△BMN 为等边三角形,∴∠BEM=60° ∠BMC =80°∴∠BMD=100° ∠DBC =60°,∠CBM=20°∴∠DBM=40°在等腰△MDB 中∴∠BDM=180°–100°–40°=40°ABCNMP( 图 2)ABCDE( 图 1)ABCEMD( 图 3)∴DM=BM=EM在等腰△MDE 中 ∠BMD=100°∴∠MED=∠MDE=70°∴∠AED=180°-70°-60°=50°解法三:解:如图 4 作等边三角形 AGD 交 AE 与 F∴ ∠AGD=∠DBC=60°∠GAF=40° ∠A=20°AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°又 ∠DBC=60°∴∠BDC=40°∴∠GAF=∠BDC∴∠ABD=∠BAC= 20°∴AG=AD=DB△ AGF≌△DBC∴AF=DC 又 AB=AC∴BF=AD =DG ………① 又 ∠ABC =80°∠BCE =50゜∴∠BEC=50゜∴BE =BC=GF…………..②由①②得 BF-BE=DG-GF即:EF=FD 又 ∠EFD =∠AFG=80°∴∠AED =(180°-80°)÷2=50°2、(2024 年山东省实验中学招生数学试题)12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在 AB边上取点 M,使 BM=AC,则 AMC 的大小为 解法一_图4 _F_G_D _E_C_A_B解:作∠FAC=20° 使 AF=AB 交 AC 与 E 连结 BF CF∠BAF=80°-20°=60°可得△BAF 为等边三角形,∴BA=BF=AF BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF∠CBF=60°-2...