顶角是 20 度的等腰三角形有关问题的解法比较在解顶角是 20 度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。举例如下：1、（09 年压轴题）如图 1，在△ABC 中，AB=AC，∠A=20゜，在 AB、AC 上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED 的度数解法（一）解：如图 2，作∠CBM=20°,点 M 在 AC 上，在 AB 上取点 N，使 BN=BM，在AM 上取点 P，使 PM=MN， ∠A=20゜, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠NBM=60°∴△BMN 为等边三角形， ∠CBM=20°∴∠BMC=∠BCM=80°∴BC=BM=BN=MN=PM∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°连接 CN，在△BMN 中， BC=BN，∠NBC=80°∴∠BCN=50°，∴点 N 就是图 1 中的点 E，连接 PB，在△PBM 中， BM=PM，∠PMB=100°∴∠PBM=40°， ∠CBM=20°∴∠CBP=60°，∴点 P 就是图 1 中的点 D，∴∠AED=50°解法二解：如图 3，作∠CBM=20°,交 AC 于点 M，连接 EM， ∠A=20°, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60° ∠BCE=50°∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°∴BE=BC=BM∴△BMN 为等边三角形，∴∠BEM=60° ∠BMC =80°∴∠BMD=100° ∠DBC =60°，∠CBM=20°∴∠DBM=40°在等腰△MDB 中∴∠BDM=180°–100°–40°=40°ABCNMP( 图 2)ABCDE( 图 1)ABCEMD( 图 3)∴DM=BM=EM在等腰△MDE 中 ∠BMD=100°∴∠MED=∠MDE=70°∴∠AED=180°-70°-60°=50°解法三：解：如图 4 作等边三角形 AGD 交 AE 与 F∴ ∠AGD＝∠DBC＝60°∠GAF＝40° ∠A＝20°AB＝AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°又 ∠DBC＝60°∴∠BDC＝40°∴∠GAF＝∠BDC∴∠ABD＝∠BAC＝ 20°∴AG=AD=DB△ AGF≌△DBC∴AF=DC 又 AB＝AC∴BF=AD =DG ………① 又 ∠ABC =80°∠BCE =50゜∴∠BEC=50゜∴BE =BC=GF…………..②由①②得 BF-BE=DG-GF即：EF＝FD 又 ∠EFD =∠AFG＝80°∴∠AED =（180°－80°）÷2=50°2、（2024 年山东省实验中学招生数学试题）12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在 AB边上取点 M,使 BM=AC,则 AMC 的大小为 解法一_图4 _F_G_D _E_C_A_B解：作∠FAC=20° 使 AF＝AB 交 AC 与 E 连结 BF CF∠BAF=80°-20°＝60°可得△BAF 为等边三角形，∴BA=BF=AF BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF∠CBF=60°-2...
