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初中数学解题技巧-放缩法解题技巧

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巧用放缩法解题放缩法是中学数学的常用解题技巧之一,特别适用于思维难度大,构造性强的题目,能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力,本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况.1.和三角形有关的放缩法在和三角形有关的问题中,要用到三角形三个角的度数为正,且和为一个定值,再结合放缩法解题.例 1 已知锐角三角形的三个内角度数为 A,B,C,并且满足 A>B>C,用 α 表示 A-B,B-C 以及 90°-A 中的最小者,则 α 的最大值是_______.分析 因为,A,B,C 是锐角三角形的三个内角度数,所以,A-B,B-C,90°-A都大于 0,故 α 也大于 0,且不超过上面三个式子的值.利用这一点对 α 进行放缩.解 因为 A,B,C,是三角形的三个内角度数,所以,A+B+C=180,所以原式≤,因此,α 的最大值是 15°.小结 此题求的是“最小者”的最大值,充分体现了放缩法的灵活性,在解题过程中,利用了三角形的内角和为 180°,以及它们的非负性,从而得到答案.2.多个变量的放缩法多变量的问题,由于变量较多且相互约束,学生解题时往往顾此失彼,感到难以入手,这类问题有时可以用放缩法解决.例 2 已知 x,y,z 为 3 个非负数,且满足 3x+2y+z=5,x+y-z=2,若 S=2x+y-z,则 S 的最大值与最小值的和为( )(A)5 (B)(C)(D)分析 有多个未知数时,不可能对他们同时进行放缩,在这种情况下,一般先归结为1 个未知数,再对这 1 个未知数放缩.解 由已知,可得不定方程:小结 此题给了 3 个未知数,2 个方程,本质上是一个不定方程组,可以用一个未知数表示其余 2 个未知数,从而把多个未知数的放缩归结为 1 个未知数的放缩.3.多重放缩法有的问题不是一次放缩就能到位的,往往要经过多次放缩.在同一个题目中,这多次放缩的原理往往是类似的.例 3 求方程的正整数解.分析 此题初看好像是一道解不定方程的题,有无数个解,但是,由于 x,y,z 都是正整数,限定了范围,利用放缩法,结合正整数的离散型,可以得到此题的有限个数的解.解 因为 x,y,z 都是正整数, 同理,对 y 进行放缩,可得,3

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