【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第02讲 二次函数与二次不等式教案

第 2 讲 二次函数与二次不等式 本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二次方程的解，是相应的二次函数中，函数值为 0 时 的值，即此二次函数的图象在 轴上的截距（函数图象与 轴的交点的横坐标）。 二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值大于 0 时 的值，即此二次函数的图象在 轴上方时 的取值范围；同样的，二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值小于0 时 的值，即此二次函数的图象在 轴下方时 的取值范围。因此， 一切实数 无解 无解高次不等式可以先进行因式分解，再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式求解。 A 类例题 例 1 设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，当为等边三角形时，求 的值。分析 欲求 的值，需得到一个关于 的方程。因为是抛物线的顶点，所以。由是等边三角形，得。只要以 表示，则 的值可求。解 由 函 数， 化 简 得。因而有，又设。则用心 爱心 专心1xx 2yOx 1xyOx 0xyOyxOABCD 由是等边三角形，得，即。所以，由，得所求 的值为例 2 当 时，解关于 的二次不等式（1）；（2）；（3）。分析 解二次不等式，首先应判断相应的二次方程是否有实数根，然后再根据根的不同情况求解。解 （1）因为 ， 又 ，得。所以，原不等式的解为。（2）由，又 二次项系数大于 0，所以，原不等式无解。（3）因为 ，由 及，得时，；当时， 所以，当 时，原不等式的解为 ； 当 时，原不等式的解为 。例3解高次不等式（1） （2）分析 高次不等式求解的基本方法是，运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多项式乘积，再通过积的符号法则求 解。解 （1），由 1 2用心 爱心 专心2 得原不等式的解是。（2）由 0 1 3 得原不等式的解是 。链接 对于形如的 次多项式，将它的个根按数轴上大小顺序排列，全体实数被分成个区间。当 由大到小依次取值时，每越过一个根，多项式中必有一个因式改变符号。因而，多项式在相邻两个区间上取的值符号相反。又当时，。据此，得不等式的解集是 ；不等式的解集是 。例如 解不等式。由 多 项 式的5个 根 依 次 为。所以，不等式的解集是 ；同样的，不等式的解集是 。用心 爱心 专心3 情景再现 1．抛物线与 轴交于两点，与轴交于点。若是直角三角形，求的值。 2．不等式恒成立，求 的取值范围。3．解关于 的不等式（1）；（2）。 B 类例题 ...