第 52 讲 圆锥曲线(一)常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究．1．各曲线的定义(1)椭圆：{P| |PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|，F1、F2为定点，2a 为正常数}；(2)双曲线：{P| ||PF1|－|PF2||＝2a，2a＜|F1F2|，F1、F2为定点，2a 为正常数}；(3)抛物线：{P|＝1，F 为定点，|PH|是 P 到定直线 l 的距离}．圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比为一个常数 e 的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)．当 0＜e＜1 时，曲线是椭圆；当 e＞1 时，曲线是双曲线；当 e＝1 时，曲线是抛物线．这个定点 F 叫做曲线的焦点，定直线 l 叫做曲线的准线，定点 F 到定直线的距离 p 叫做焦参数．2．标准方程(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)，＋＝1(a＞b＞0)；(2)双曲线：－＝1，－＝1(a＞0，b＞0)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．3．几何性质：(见教材)4．直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种：一种是由它们的方程消去一个未知数(如 y)，得到另一个未知数(如 x)的一元二次方程，利用其根的判别式 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公共点、没有公共点．对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论．另一种是取椭圆、双曲线的参数方程，再转化为三角方程是否有解的问题．A 类例题 例 1．椭圆＋＝1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）A．7 倍 B．5 倍 C．4 倍 D．3 倍(1998 年全国高考题)分析 本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长，中点坐标公式等，也可以用椭圆的第二定义来求解．解 由已知得 F1、F2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)．设 P(x，y)，线段 PF1的中点的横坐标为 0，那么＝0，x1＝3．将 x1＝3 代入椭圆方程得，y1＝±，所以 P(3，±)，则|PF2|＝|y1|＝．因为|PF1|＋|PF2|＝4，则|PF1|＝，故|PF1|＝7|PF2|．说明 本题也可以用焦半径公式求解，与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二)．例 2．设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)、(0，b)两点，已知原点到直线 l 的距离为c，则双曲线的离心率为( )A．2 B． C． D．(1...
