【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第60讲 概率2教案

第 20 讲 概率(二)本节主要内容有：几何概型，期望．各种概率问题选讲 概率的基本知识．1.随机变量：随机变量 x 是样本空间 I 上的函数，即对样本空间 I 中的每一个样本点 e，有一个确定的实数 X(e)与 e 对应，X=X(e)称为随机变量．2.数学期望：设 X 是随机变量，则 E(x)= X(e)P(e)称为 X 的数学期望．其中 e 跑遍样本空间 I 的所有样本点，P(e)是 e 的概率． 如果 a 是常数，那么 E(aX)=aE(X)． 如果 X、Y 是两个随机变量，那么 E(X+Y)=E(X)+E(y)． A 类例题 例 1 (2004 年福建理科卷)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．（1）求甲答对试题数 ξ 的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．分析 利用随机事件的概率公式确定概率分布列，利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决此类问题 ．解 （1）依题意，甲答对试题数 ξ 的概率分布如下：ξ0123P3011032161甲答对试题数 ξ 的数学期望 Eξ=0× 301 ＋1×103 ＋2× 21 ＋3× 61 = 59 ．（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则P(A)=310361426CCCC=1202060 = 32 ，P(B)=310381228CCCC=1205656 =1514 ．因为事件 A、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为：P(BA )=P( A )P( B )=1－ 32 )(1－1514 )= 451 ．∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为：P=1－P(BA )=1－ 451 = 4544 ．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 4544 ．例 2.(2004 年全国高考湖北卷)某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0．3，一旦发生，将造成 400 万元的损失． 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用． 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0．9 和 0．85． 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．）分析 优选决策型概率问题是指通过概率统计来判断实施方案的优劣的问题．这类问题解决的关键是要分清各方案实施的区别，处理好概率与统计的综合．此部分内容实际意义较浓...