第 75 讲 几何不等式本讲只要内容是几何不等式:A 类例题 例 1 已知 D 是△ABC 的边 AB 上的任意一点,E 是边 AC 上的任意一点,连接 DE,F 是连接线段DE 上的任意一点.设 = x, = y, = z, 证明:(1) S△BDF=(1–x)yzS△ABC, S△CEF= x(1–y)(1–z)S△ABC;(2) +≤.(2003 年女子数学奥林匹克试题) 证明 (1) 如图,有S△BDF= z S△BDE=z(1–x) S△ABD= z(1–x)yS△ABC,S△CEF=(1–z)S△CDE=(1–z)(1–y)S△ACD=(1–z)(1–y) xS△ABC.(2) +=( + )≤( + )= .例 2 如图，在△ABC 中,P,Q,R 将其周长三等分，且 P,Q 在 AB 边上，求证：(1988 年全国高中数学联赛第二试试题) 证明 从 C,R 向 AB 引垂线，用放缩法证明所需不等式.不妨设周长为 1，作△ABC、△PQR 的高 CL、RH. 情景再现1. 已知 D 是面积为 1 的△ABC 的边 AB 上的任意一点,E 是边 AC 上任意一点,连接 DE, F 是线段 DE 上的任意一点，设 = x, = y, = z,且 y+zx= .试求△BDF 面积的最大值．(2005 年湖南省数学竞赛试题)2. 如图，在△ABC 中，P 为边 BC 上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若 S△ABC=1，证明 S△BPF、S△PCE和 S 平行四边形 PEAF 中至少有一个不小于(S…表示图形的面积) (1984 年全国高中数学联赛第二试试题)Ｂ类例题例 3 (Erdős-Mordell 不等式)设 P 是△ABC 内的任意一点, P 到三边 BC、CA、AB 的距离分别为 PD＝p、PE＝q、PF＝r，并记 PA＝x，PB＝y，PC＝z，则 x+y+z≥2(p+q+r) 等号成立当且仅当△ABC 是正三角形并且 P 为此三角形的中心. 证明 如图, 以∠B 的平分线为对称轴分别作出 A、C 的对称点 A΄、C΄. 连接 A΄C΄，又连接PA΄、PC΄， 在△BA΄C΄中，容易得到1LHBCAQRP ①等号成立当且仅当 BP⊥A΄C΄.由于△ABC≌△A΄BC΄, ① 式等价于 cp + ar≤ yb. 即 y≥·p + ·r ②同理 x≥ ·q + ·r ③ z≥ ·p + ·q ④ 将不等式②、③、④相加得x+y+z≥p(+)+q (+)+r(+)≥2(p+q+r). 例 4 设 P 是△ABC 内的一点,求证:∠PAB、∠PBC、∠PCA 至少有一个小于或等于 30o. (第32 届 IMO 试题)证法一 连接 AP、BP、CP，并延长交对边于 D、E、F，则 + + = + + =1,设∠PAB=α, ∠PBC=β, ∠PCA=γ, 则sinαsinβsinγ≤ · · = · · = y,令 x1= , x2= , x3= ,那么 x1+ x2+ x3=1...
