2024 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一、计算题（每小题 12 分，满分 60 分）1、计算.解: 。2、求.解: .3、求.解: .4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令则,,令所求平面方程为: ,在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则.解得: 即所求平面方程为: .二、(15 分)设,问有几个实根?并说明理由.解: 当, 当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分 20 分)求中的系数.解: 当时, 故中的系数为.四、(20 分) 计算,其中是球面与平面的交线.解： 而,,,故.五、(20 分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性 由于,则, .充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;即只需证明: ,而,故只要说明: ,即,当时,显然成立;假设当时,也成立,即;当时, . 六、(15 分)求最小的实数 ,使得满足的连续函数都有.解: , 取,显然,而, 取,显然,而, 故最小的实数.2024 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题（每小题 12 分，满分 60 分）1、求.解: 。2、求.解: .3、求的值,使.解: 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中 为圆柱面.解: 被积函数关于 是奇函数,积分区域关于 对称,二、(20 分)设,,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分 20 分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在 轴正向上，求：（1）通过，两点的直线绕 轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、平面和过点垂直于 轴的平面所围成的立体体积. 解::旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直 轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20 分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,,,,,,,,,,;在圆周上,由条件极值得:令解得: ,,, ,,,,,,,;,在的最大值为 ,最小值为.五、(15 分)设幂级数的系数满足,,,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 六、(15 分)已知二...
