首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2024）一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，， （*）令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。因此。3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解 因 平 面的 法 向 量 为， 而 曲 面在处 的 法 向 量 为， 故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处 的 切 平 面 方 程 是， 即 曲 面平行平面的切平面方程是。4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.解 方程的两边对求导，得因，故，即，因此不会：二、（5 分）求极限，其中是给定的正整数.解法 1 因故因此解法 2 因故三、（15 分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.解 由和函数连续知，因，故，因此，当时，，故当时，，这表明在处连续.四、（15 分）已知平面区域，为的正向边界试证：（1）；（2）.证 因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即五、（10 分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10 分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令，得即因此,,.七、（15 分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.解 ，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10 分）求时, 与等价的无穷大量.解 令，则因当，时，，故在上严格单调减。因此即，又，，所以，当时, 与等价的无穷大量是。
