第四章 平面向量与复数第 3 课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65～67 页)考情分析考点新知① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.② 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．① 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.② 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.1. (必修 4P77练习第 2(1)题改编)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________．答案：－3解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×＝－3.2. (必修 4P80练习第 3 题改编)已知向量 a、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角为________．答案：解析： cos〈a，b〉＝＝，∴ 〈a，b〉＝.3. (必修 4P81习题 2.4 第 2 题改编)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°，则|a－b|＝________．答案：解析：|a－b|＝＝＝＝.4. (必修 4P81习题 2.4 第 3(1)题改编)已知两个单位向量 e1、e2的夹角为，若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________．答案：－6解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以 b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.5. (必修 4P84习题 4 改编)若平面四边形 ABCD 满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是________．答案：菱形解析：四边形 ABCD 满足AB＋CD＝0 知其为平行四边形，(AB－AD)·AC＝0 即DB·AC＝0 知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．1. 向量数量积的定义1(1) 向量 a 与 b 的夹角(2) 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，我们把数量| a || b |cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为 0.2. 向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 是 a 与 b 的夹角，则(1) e·a＝a·e.(2) a⊥b a·b＝0．(3) 当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－ |a||b| ；特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝.(4) cosθ＝.(5) |a·b|≤|a|·|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：a·...
