●备课资料一、怎样教学生讨论曲线的性质？答：在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：（1）确定曲线的范围.由曲线方程 F(x,y)=0.分别确定 x 与 y 的取值范围，从而分别判断曲线的左、右与上、下部分的“顶点”的分布情况.（2）判断有没有对称性，在曲线方程 F(x,y)=0 中，如果把 x（或 y）换成-x(或-y)，方程不变，那么曲线关于 y（或 x)轴对称；如果把 x 与 y 同时换成-x 与-y，方程不变，那么曲线关于原点对称（这时曲线关于 x 轴或 y 轴却不一定对称）.（3）求出在 x 轴上的“截距”（即求出曲线与 x 轴的交点的横坐标）和 y 轴上的“截距”（即求出曲线与 y 轴的交点的纵坐标）.这可以通过解由 F(x,y)=0 与 y=0（或 x=0)所组成的方程组求得.注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点”.（4）判断有没有渐近线.对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等.二、参考例题［例 1］如图所示，过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q，通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出 M、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则 MQ∥x 轴，为此，将方程 y2=2px,y=k(x-)联立，解出P（）,Q()直线 OP 的方程为 y=,即 y=.令 x=-，得 M 点纵坐标 yM==yQ.得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题“如果过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y1、y2，那么 y1y2=-p2”来证.设 P（x1,y1）、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并从 y2=2px 及 y=k(x-)中消去 x，得到 ky2-2py-kp2=0，则有结论 y1y2=-p2，即 y2=.又直线 OP 的方程为 y=x,含 x=-,得 y3=-.因为 P（x1,y1）在抛物线上，所以 2x1=.从而 y3=-=(-py1)·=y2.这一证法运算量较小.思路三：直线 MQ 的方程为 y=y0的充要条件是 M（-,y0）,Q(,y0).将直线 MO 的方程 y=-和直线 QF 的方程 y=(x-)联立，它的解(x,y)就是点 P 的坐标，消去 y0，可得 y2=2px，可知直线 MQ 的方程为 y=y0的充要条件是点 P 在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.注：本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立.以上摘自《中学数学教学参考》2000 年 11 期［例 2］已...
