导数题型一:证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开讨论,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清楚,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路,并通过构造辅助函数,证明一些不等式。一.构造形似函数型 例 1.求证下列不等式(1)x− x22
2 xπ x∈(0 , π2 )(相除两边同除以 x 得x sin x> 2π )(3)x−sin x1时,不等式2√x>3−1x 2.x≠0 ,证明:e x>1+x 3.x>0 时,求证:x− x22 x+ 13 x3,x∈(0, π2 ).二、需要多次求导例 2.当x∈(0,1)时,证明:(1+x)ln2(1+x )< x2例 3.求证:x>0 时,例 4.设函数 f(x)=ln x+x2-(a+1)x(a>0,a 为常数).若 a=1,证明:当 x>1时,f(x)< x2--.三、作辅助函数型例 5.已知:a、b 为实数,且 b>a>e,其中 e 为自然对数的底,求证:ab>ba.例 6.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数 f(x)的最大值;(ii)设 00,b>0 ,证明( a+b2)a+b≤aa bb (3)若0 x2x1四、同增与不同增例 7.证明:对任意.例 8.已知函数证明:.五、极值点偏移(理科)例 9.已知函数( )()xf xxexR.假如12,xx且12()(),f xf x证明122xx.例 10.已知函数,其中 是自然对数的底数.若,且,求证:六、放缩法例 11.已知:n∈Nn且 ≥2,求证:12+ 13+⋯+ 1n ln 2−1 且时,有例 15.已知函数(且).(1)当时,求证:在上单调递增;(2)当且时,求证:.