云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 专 题 （ 二 十 八 ）题目 高中数学复习专题讲座关于求空间的角的问题高考要求 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法 2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90°方法 关键是作垂线，找射影 3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法 注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ 来计算 注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4 ．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线 ,a b 所成的角 ：coscos,a b ；⑵直线a 与平面( 法向量n) 所成的角 ：sincos,a n ；⑶锐二面角 ：coscos,m n ，其中,m n为两个面的法向量。典型题例示范讲解 例1 在棱长为a 的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E 、F 分别是BC 、A′D′ 的中点 (1)求证 四边形B′EDF 是菱形；(2)求直线A′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B′EDF 所成的角；(4)求面B′EDF 与面ABCD 所成的角 命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′ 就断定B′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′ 、E 、D 、F 四点共面 技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得 B′E=ED=DF=FB′=25a, 下证B′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A′G 、EG ，由EGABA′B′知，B′EGA′ 是平行四边形 ∴B′E∥A′G, 又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形 ∴A′G∥FD ，∴B′ 、E 、D 、F 四点共面用心 爱心 专心GFED'C'B'A'DCBA故四边形B′EDF 是菱形 (2) 解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A′CP( 或补角) 为异面直线A′C 与DE 所成的角 在△A′CP中，易 得 A′C=3 a ， CP=DE=25 a,A′P=213a由余弦定理得cosA′CP=1515故A′C ...
