云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 专 题 （ 二 十 二 ）题目 高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法高考要求 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义( 如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ，可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y) 中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解 例1 如图所示，已知P(4 ，0) 是圆x2+y2=36 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90° ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程 错解分析 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 解 设AB 的中点为R ，坐标为(x,y) ，则在Rt△ABP 中，|AR|=|PR| 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2 －|OR|2=36 －(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x －4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y) ，R(x1,y1)，因为R 是PQ 的中点，所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2－4x－10=0, 得244)2()24(22xyx－10=0用心 爱心 专心BQRAPoyx整理得 x2+y2=56, 这就是所求的轨迹...
