【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第二节平面向量的分解及向量的坐标表示 文

1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理一、平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，满足 a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．称 λ1e1＋λ2e2为 e1，e2的线性组合．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示成 a＝xi＋yj，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在y 轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．三、平面向量的坐标运算1．若 a＝，b＝，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)．2．若 A，B，则AB＝.3．若 a＝(x，y)，则 λa＝(λx，λy)．四、向量的运算1向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2．三角形法则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，AB＋BC＝AC向量的减法三角形法则a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋(－b)，AB＝－BA，OB－OA＝AB数乘向量法λa 是一个向量．满足：λ>0 时，λa与 a 同向；λ<0时，λa 与 a 异向；λ＝0时，λa＝0λa＝(λx，λy)λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，a∥b⇔a＝λ b(b≠0)五、向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则OA＝(x，y)；当 向 量 起 点 不 在 原 点 时 ， 向 量 AB 坐 标 为 终 点 坐 标 减 去 起 点 坐 标 ， 即 若A (x1，y1)，B (x2，y2)，则AB＝.六、两个向量平行(共线)的充要条件符号语言：若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb.坐标语言：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b⇔＝λ，即 或 x1y2－x2y1＝0.在这里，实数 λ 是唯一存在的，当 a 与 b 同向时，λ>0；当 a 与 b 异向时，...