四川省富顺县第三中学高二学案：3.1.5 空间向量运算的坐标表示【学习目标】1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.【重点难点】重点空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；难点会用这些公式解决有关问题.【导学过程】一、自主学习（预习教材 P95~ P97，找出疑惑之处）复习 1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段︱AB︱＝ .复习 2：已知，求：⑴a＋B. ⑵3a－b； ⑶ 6A. ； ⑷ a·b.二、小组合作探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设 a＝，则｜a｜＝ 2. 两个向量的夹角公式：设 a＝，b＝，由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，由此可以得出：cos＜a,b＞＝ 试试：① 当 cos＜a、b＞＝1 时，a 与 b 所成角是 ；② 当 cos＜a、b＞＝－1 时，a 与 b 所成角是 ；③ 当 cos＜a、b＞＝0 时，a 与 b 所成角是 ，即 a 与 b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设 a＝，b＝，则⑴ a//B. a 与 b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为 ；⑵ a⊥ba 与 b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段 AB 的长度为：.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段 AB 的中点坐标为: .班级 小组 姓名 三、知识整合例 1. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．1变式：如上图,在正方体中，，求与所成角的余弦值． 例 2. 如图，正方体中，点 E,F 分别是的中点，求证：. 变式：如图，正方体中，点 M 是 AB 的中点，求与 CM 所成角的余弦值. 小结：求两个向量的夹角或角的 余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 2四、课堂训练练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴ 线段 AB 的中点坐标和长度；⑵ 到 A、B 两点距离相等的点的坐标 x、y、z 满足的条件．练 2. 如图，正方体的棱长为 2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立...
