高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第25 期§5.5 正弦定理、余弦定理的应用基础自测1.在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°,C 点的俯角为 70°，则∠BAC= .答案 130°2.从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则、的大小关系为 .答案 =3.在△ABC 中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则△ABC 是 三角形.答案 等边4.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°，则 A、C 两地的距离为 km.答案 10 5.线段 AB 外有一点 C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则运动开始 h 后，两车的距离最小.答案 例题精讲 例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求 A、B 之间的距离.解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD= km.在△BCD 中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC==.△ABC 中，由余弦定理，得AB2=() +() -2×××cos75°=3+2+-=5，∴AB=(km).∴A、B 之间的距离为 km. 例 2．沿一条小路前进，从 A 到 B，方位角（从正北方向顺时针转到 AB 方向所成的角）是50°，距离是 3 km，从 B 到 C 方位角是 110°，距离是 3 km，从 C 到 D,方位角是 140°，距离是（9+3）km.试画出示意图，并计算出从 A 到 D 的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示，连接 AC，在△ABC 中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又 AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得AC== 用心 爱心 专心159==3(km)，在△ACD 中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=3+9.由余弦定理得AD== =(km) 由正弦定理得 sin∠CAD===. ∴∠CAD=45°,于是 AD 的方位角为 50°+30°+45°=125°,所以，从 A 到 D 的方位角是 125°，距离为km. 例 3 如图所示，已知半圆的直径 AB=2，点 C 在 AB的延长线上，BC=1，点 P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD，且点 D 与圆心 O 分别在 PC的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值.解 设∠POB= ，四边形面积为 y，则在△POC 中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos =5-4cos .∴y=S△OPC+S...
