正弦交流电有效值的证明证 法 一 ： 假 设 有 两 个 交 变 电 压 其 最 大 值 与 周 期 均 相 同 ， 瞬 时 值 表 达 式 分 别 为u1=Mmsinω t、u2=Umcosωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为 R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为 Q，产生的总热量 Q 总=2Q。在任一时刻 t，这两个电阻上的热功率分别为，.两个电阻上总的发热功率为。可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻 t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为.用一个恒定电压为 U 的电源，分别给两个相同的电阻 R 供电，在相同时间 T 内，每个电阻产生 的 热 量 是 Q=， 两 个 电 阻 产 生 的 总 热 量 为 Q=. 由 热 效 应 的 等 效 可 知。可得。而这个恒定电流的电压 U 就是正弦交变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。证法二：设流过定值电阻 R 的电流按正弦规律变化，即 i=Imsinωt,交流电的瞬时功率为p=i2R=Im2Rsin2ωt. 因为 代入得 。上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为：(为最大瞬时功率的一半)如果考虑一个恒定电流 I 与其等效，即 P=I2R，就有P=，即，所以 证法三：（积分法）设流过定值电阻 R 的电流按正弦规律变化，即 i=Imsinωt.因为时刻 t 瞬时功率 p=i2R=Im2Rsin2ωt，则一个周期内电阻 R 上产生的热量为 Q=.用心 爱心 专心u2OUm-UmTttO-UmTt因为 代入得 ,代入上式有：。由于第二项积分为零，所以 Q= 。如果有一个恒定电流 I 与其等效，即，就有，即所以有证法四：（割补法）见 FLASH 动画用心 爱心 专心
