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新课标2009高三数学第一轮复习单元讲座(共41讲):第26讲 平面向量的数量积及应用

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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 26)—平面向量的数量积及应用一.课标要求:1.平面向量的数量积① 通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系;③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。二.命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值 5~9 分。平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主。预测 07 年高考:(1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。(2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;三.要点精讲1.向量的数量积(1)两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a,作= ,= ,则∠A O A=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角;说明:(1)当 θ=0时, 与 同向;(2)当 θ=π 时, 与 反向;(3)当 θ=时, 与 垂直,记 ⊥ ;(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0≤≤180。(2)数量积的概念第 1 页 共 11 页C已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积(或内积)。规定;向量的投影:︱︱cos =∈R,称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影;(3)数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。(4)向量数量积的性质① 向量的模与平方的关系:。② 乘法公式成立;;③ 平面向量数量积的运算律交换律成立:;对实数的结合律成立:;分配律成立:。④ 向量的夹角:cos ==。当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时 θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。(5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量,则·=。(6)垂直:如果与的夹角为 900则称与垂直,记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件: ⊥· =O...

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