第十一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程：一、 构造法：1．构造函数法例一、已知 x > 0，求证： 证：构造函数 则， 设 2≤< 由显然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0∴f (x)在上单调递增，∴左边例二、求证： 证：设 则用定义法可证：f (t)在上单调递增令：3≤t1 0，则 即 b, c 是二次方程的两个实根。∴ 即：a≥2例四、求证： 证：设 则：(y 1)tan2 + (y + 1)tan + (y 1) = 0当 y = 1 时，命题显然成立当 y 1 时，△= (y + 1)2 4(y 1)2 = (3y 1)(y 3)≥0∴综上所述，原式成立。（此法也称判别式法） 3．构造图形法：例五、已知 0 < a < 1，0 < b < 1，求证： 证：构造单位正方形，O 是正方形内一点 O 到 AD, AB 的距离为 a, b， 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| 其中， 又： ∴二、 作业：证明下列不等式：1．令，则 (y 1)x2 + (y + 1)x + (y 1) = 0用心 爱心 专心 A B C D O 1b b a 1a用△法，分情况讨论2．已知关于 x 的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 < 0 (aR)，对任意实数 x 恒成立，求证：。分 a2 1 = 0 和 讨论3．若 x > 0, y > 0, x + y = 1，则左边 令 t = xy，则在上单调递减 ∴4．若，且 a2 < a b，则令，又，在上单调递增∴5．记，a > b > 0，则| f (a) f (b) | < | a b|构造矩形 ABCD, F 在 CD 上，使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| |AF| < |CF|6．若 x, y, z > 0，则作AOB = BOC = COA = 120, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z用心 爱心 专心 A B C D F
