江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：立体几何中的向量方法考情分析1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．3．利用空间向量求空间距离．基础知识1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则① a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋ a 3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝ λb 1，a2＝ λb 2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 (a，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1， b2，b3)，则|a|＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 dAB＝|AB|＝.2．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定① 直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量．② 平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量， 则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系① 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v 2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2.② 设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2，则 l∥α 或l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.③ 设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u.④ 设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系① 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.② 设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u.③ 设平面α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.(4)点面距的求法如图，设 AB 为平面 α的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离 d＝.题型一 利用空间向量证明平行问题【例 1】►如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.【变式 1】 如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，△PAD...
