3.4 基本不等式的证明(1)【学习导航】 知识网络 学习要求 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价算术平均数： 几何平均数 设 a≥0,b≥0 则2ab+与ab 的关系为 基本不等式的证明方法： 【精典范例】例 1．.设 a、b 为正数, 求证明：2abab+ ³点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法２．本题对 a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当 a=b 时成立．用心 爱心 专心1几何解释基本不等式算术平均数和几何平均数变形及证明其它不等式内容及证法３．把不等式2abab+ ³ (a≥0,b≥0)称为基本不等式 4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．例 2. 利用基本不等式证明下列不等式：已知 a>0,求证 a+12a ³ (2).已知 a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .(3).已知 x , y , z 是互不相等的正数, 且 x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8xyz--->点评：1..基本不等式的变形公式：(1) 222( ,)abab a bR+³Î(2) 22( ,)2ababa bR+£Î (3) 2( ,)abab a bR++ ³Î (4) 2() ( ,)2ababa bR++£Î2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．思维点拔：1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则1212nnnaaaa aan++×××+××× £(n>1,nÎ N)追踪训练１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．用心 爱心 专心2学习札记（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２2p２．已知 a>1 求证 a+11a-≥3３．已知 a+b+c=1,求证 a2+b2+c2≥13４．已知 a , b , c 不全相等的三个正数, 且 abc=1 , 求证: cbacba111． 用心 爱心 专心3【师生互动】学生质疑教师释疑
