河南省安阳县高中数学 第3章 第11课时 基本不等式的证明（2）学案（教师版） 新人教A版必修5

第 11 课时基本不等式的证明(2)【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 理解最值定理的使用条件：一正二定三相等． 2. 运用基本不等式求解函数最值问题．【课堂互动】自学评价最值定理：若 x、y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P , 那么当且仅当 x=y 时, 和 x+y 有最小值 P2 ．.(2)如果和 x+y 是定值 S , 那么当且仅当 x=y 时, 积 xy 有最大值 241 S ．２．最值定理中隐含三个条件： 一正二定 三相等 ．【精典范例】例 1．(1).已知函数 y=x+162x +(x>－2), 求此函数的最小值.(2)已知 x< 45, 求 y=4x－1+145x-的最大值;(3)已知 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=20 , 求 xy 的最大值;(4)已知 x , y∈R+ 且 x+2y=1 , 求11xy+的最小值.【解】答案：（1） y 的最小值为 6（x=2）．（２） y 的最大值为２(x=1)．用心 爱心 专心1最值定理基本不等式证明使用条件：一正二定三相等作用：求最值内容（３） xy 的最大值为 720(x=2,y= 710)．（4）11xy+的最小值为223 (221,12yx)．例 2. 错在哪里?（１）求 y=2254xx++(x∈R)的最小值. 解∵y=2254xx++22144xx=+ ++2212424xx³+ ×=+∴ y 的最小值为 2 ..（２）已知 x , y∈R+ 且 x+４ y=1，求11xy+ 的最小值．法一：由１＝xyyx424得41xy所以11xy+82xy．所以原式最小值为８．法二：由11xy+xy2（当且仅当 x=y 时等号成立）．于是有 14yxyx得 x=y=0.2．所以用心 爱心 专心211xy+的最小值为 5+5=10.思维点拔：１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．２．例 2 是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。追踪训练一求函数 y=4x2+29x的最小值；已知 x<0 , 求 y=21xx+的最大值；已知 x , y∈R+, 且 x1+ y9=1 , 求 x+y 的最小值;已知 x>-2 , 求 y=232xx-++的最大值；已知 x>1 ,0