讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用 洞口三中 方锦昌一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R例 1．（1）、已知ABC 中，A，,求 (=2)（2）、已知ABC 中，，求 （答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例 2．（1）、在ABC 中，已知，，，求 b 及 A （ ）（2）、在ABC 中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。例 3．在ABC 中，已知，，，判断ABC 的类型。分析：由余弦定理可知 （注意：）解：，即， ∴。练习： （1）在ABC 中，已知，判断ABC 的类型。 （2）已知ABC 满足条件，判断ABC 的类型。 （答案：（1）；（2）ABC 是等腰或直角三角形）例 4．在ABC 中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理解：由得，则=3，即，从而例题 5、某人在 M 汽车站的北偏西 20 的方向上的 A 处，观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40 。开始时，汽车到 A 的距离为 31 千米，汽车前进 20 千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在ABC 中 ，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得用心 爱心 专心 cosC==,则 sin C =1- cos C =, sinC =,所以 sinMAC = sin（120 -C）= sin120 cosC - cos120 sinC =在MAC 中，由正弦定理得 MC ===35 从而有 MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，（1）、acosA = bcosB（ 等腰三角形或直角三角形）（2）、sinC = （直角三角形）2、如图，在四边形 ABCD 中，ADB=BCD=75 ，ACB=BDC=45 ，DC=，求：（1）AB 的长 （2）、求四边形 ABCD 的面积解（1）因为BCD=75 ，ACB=45 ，所以 ACD=30 ，又因为BDC=45 ，所以 DAC=180 -（75 + 45 + 30 ）=30 ，所以 AD=DC= 在BCD 中，CBD=180 -（75 + 45 ）=60 ，所以= ，BD = = 在ABD 中，AB =AD + BD -2 AD BD cos75 = 5,所以得 AB=（2）S= AD BD sin75 = 同理， S= 所以四边形 ABCD 的面积 S=用心 爱心 专心
