数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·安顺模拟)在复平面内,复数对应的向量的模是()A.B.1C.2D.2【解析】选A.==1-i,则复数对应的向量的模为|1-i|=,故选A.2.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位,a,bR,∈“则a=b=1”“是(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则解得或“所以a=b=1”“是(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.3.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i,所以对应的点(1,2)位于第一象限.4.(2015·兰州模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(aR)∈是纯虚数,则a=()A.0B.1C.-1D.±1【解析】选C.由题意得解得a=-1.5.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.【解析】选D.设z=a+bi(a,bR),∈则(3-4i)z=(3-4i)·(a+bi)=5,化简得3a+4b+(3b-4a)i=5,所以解得即z=+i.【一题多解】选D.由已知(3-4i)z=|4+3i|==5,故z===+i,故z的虚部为.6.(2015·泉州模拟)复数z=(mR,i∈为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,bR)∈的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可用以下方法求解.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,aR,bR∈∈与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.7.计算=()A.-iB.+iC.-iD.+i【解析】选D.原式===-=-=+i.【一题多解】本题还可有如下解法:原式===+i.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2014·湖南高考)复数(i为虚数单位)的实部等于.【解析】因为==-3-i,所以实部为-3.答案:-39.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,则z2=.【解析】因为(z1-2)(1+i)=1-i,所以z1=+2=+2=2-i,设z2=a+2i(aR),∈则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,又z1·z2是实数,所以a=4,从而z2=4+2i.答案:4+2i10.若定义=ad-bc(a,b,c,d为复数),则=.【解题提示】充分利用定义代入求解即可.【解析】由已知定义可知=2i×[(3-2i)i]-(3i)2=-2(3-2i)+9=3+4i.答案:3+4i(20分钟40分)1.(5分)若复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值为()A.1B.-3C.1或-3D.3【解析】选B.复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则解得a=-3.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了a-1≠0.【加固训练】设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为.【解析】若===+i为纯虚数,则故a=2.答案:22.(5分)已知复数z满足|z|=1,则|z-(4+3i)|的最大、最小值为()A.5,3B.6,4C.7,5D.6,5【解题提示】利用复数的几何意义或设出后代入求解.【解析】选B.方法一:由|z|=1知复数z对应的点为以原点为圆心,以1为半径的圆上的点.而|z-(4+3i)|则表示单位圆上的点到点P(4,3)的距离.又|OP|==5,故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.方法二:设z=x+yi(x,yR),∈则由|z|=1得x2+y2=1,又|z-(4+3i)|=|(x-4)+(y-3)i|=,由几何意义可知上式为单位圆上的点到P(4,3)点的距离.又|OP|=5,故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.3.(5分)(2015·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若=,则z1·=z2·D.若=,则=【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).∈选项具体分析结论A若|z1-z2|=0,则=0,所以a=c,b=d,即z1=z2,故=正确B若z1=,则a=c,b=-d,所以=z2正确C若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·=z2·正确D=(a2-b2)+2abi,=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd错误4.(12分)(2015·临沂模拟)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)...
