课时提升作业(二十九)数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn+Sn+1=an+1(nN*),∈则此数列是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选C.因为Sn+Sn+1=an+1,所以当n≥2时,Sn-1+Sn=an.两式相减得an+an+1=an+1-an,所以an=0(n≥2).当n=1时,a1+(a1+a2)=a2,所以a1=0,所以an=0(nN*),∈故选C.2.数列1,-,,-,…的一个通项公式是()A.an=(-1)n+1(nN*)∈B.an=(-1)n-1(nN*)∈C.an=(-1)n+1(nN*)∈D.an=(-1)n-1(nN*)∈【解析】选D.观察数列{an}各项,可写成:,-,,-,故选D.3.(2015·贵阳模拟)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项和第6项【解析】选D.令an=3,即n2-8n+15=3,整理得n2-8n+12=0,解得n=2或n=6.4.(2015·重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),∈则数列{an}的通项公式是()A.2n-1B.C.n2D.n【解析】选D.因为an=n(an+1-an),所以=,所以an=×××…×××a1=×××…×××1=n.5.(2015·北京模拟)已知an=,把数列{an}的各项排列成如下的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9………………………记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+…+17==81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为an=,所以A(10,12)=a93=.【加固训练】(2015·盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826………………根据表中的规律,偶数2014应在第行第列.【解析】表中每一行4个数,因为都是偶数,所以2014÷2÷4=251余3,从表格可知奇数行从第2列开始,从小到大排列,偶数行从第一列开始,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:2522二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{an}满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=.【解析】由an+2=an+1+an,得an+3=an+2+an+1=2an+1+an,即当n=2时a5=2a3+a2,当n=1时,a3=a2+a1,即a2=a3-a1,两式联立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,因为a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固训练】已知数列{an}对于任意p,qN*,∈有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=()A.B.C.1D.4【解析】选D.因为ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.(2015·天津模拟)若数列{an}中,a1=3,an+an-1=4(n≥2),则a2014的值为.【解析】因为a1=3,an+an-1=4(n≥2),所以a1=3,a2=1,a3=3,a4=1,…,显然当n是偶数时,an=1,所以a2014=1.答案:1【加固训练】(2015·黄冈模拟)已知数列{an},若a1=b(b>0),an+1=-(nN*),∈则能使an=b成立的n的值可能是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-=-,a3=-=-,a4=-=b,a5=-=-,a6=-=-,…,所以数列{an}的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选C.8.(2015·洛阳模拟)数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,nN*,∈都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=.【解析】由题意知:a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2,所以an=(n≥2),所以a3+a5=+=.答案:三、解答题9.(10分)(2015·广州模拟)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,求数列{an}的通项公式.【解析】因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=①则当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=②-①②得3n-1an=,所以an=(n≥2).由题意知a1=,符合上式,所以an=(nN*).∈【加固训练】1.已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=9-6n,则数列{an}的通项公式是.【解析】令Sn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,则Sn=9-6n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,2n-1·an=Sn-Sn-1=-6,所以an=-,所以通项公式an=答案:an=2.若an=n2+λn+3(其中λ为实常数),nN*,∈且数列{an}为单调递增数列,求实数λ的取值范围.【解析】因为{an}为单调递增数列,所以an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化简为λ>-2n-1对一切nN*∈都成立,所以λ>-3.故实数λ的取值范围为(-3,+∞).【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是,而通项公式是an=2n2-5n的数列{an}对任意的正整数都...
