课时提升作业(四十一)空间几何体的表面积与体积(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.1【解析】选A.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1,母线长为1.故侧面积为2πr·l=2π·1·1=2π.2.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A.B.C.D.【解析】选A.在△ABC中,BC边上的高为,即棱锥A-BB1C1的高为,又=,所以1111BABCABBCVV＝=××=.3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=9π·6=54π.因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高为4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=4π·4+9π·2=34π.所以削掉部分的体积与原体积之比==.【加固训练】一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为()A.1cmB.1.2cmC.1.5cmD.2cm【解析】选C.设钢球的半径为R,因为V球=πR3=π×32×8.5-π×32×8=4.5π,所以R==1.5(cm).4.(2015·杭州模拟)三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,ABBC,⊥又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()A.πB.πC.3πD.12π【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=,又ABBC,⊥所以AC2=AB2+BC2,故SC==,即球O的半径为,所以球O的表面积为S=4π×=3π.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.+6B.C.D.+6【解析】选B.由三视图可知该几何体为横着平放的半个圆锥与半个圆柱构成的简单组合体,体积V=×π×12×2+×π×12×3=π.5.(2015·太原模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC△是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.B.C.D.【解题提示】先根据题意确定四面体O-ABC的结构特征,求得O到平面ABC的距离,进而求得S到平面ABC的距离,代入体积公式求解.【解析】选A.因为△ABC为边长为1的正三角形,且球半径为1,所以四面体O-ABC为正四面体,所以△ABC的外接圆的半径为,所以点O到平面ABC的距离d==,所以三棱锥的高SF=2OE=,所以三棱锥的体积为××1××=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】如图,所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成,V=×2×π×22+π×12×4=(m3).答案:7.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.【解析】由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,以梯形为底,所以梯形面积为=,四棱柱的高为1,所以该几何体的体积为.答案:8.(2015·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.答案:16π【误区警示】本题易误将圆锥底面圆半径作为球的半径而致误.【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.答案:4(20分钟30分)1.(5分)(2015·中山模拟)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的体积是()A.24B.12C.8D.4【解题提示】由三视图还原出几何体,由几何体的结构特征求体积.【解析】选B.由三视图可知,该几何体是由两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为4,三棱柱的底面三角形为直角三角形,两直角边分别为2,,所以三角形的底面积为×2×=,所以三棱柱的体积为×4=6,所以该几何...
