课时提升作业(五十二)曲线与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.方程(x2+y2-4)xy1=0的曲线形状是()【解析】选C.原方程可化22xy40,xy10为或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.【误区警示】本题易忽视x+y+1≥0,而误认为x2+y2-4=0是一个完整的圆,从而错选A.2.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A.y2=2(x-1)B.y2=4(x-1)C.y2=x-1D.y2=12(x-1)【解析】选D.设P(x0,y0),M(x,y),则0000x2x,x2x2,2yy2y,y,2即故点P的坐标为(2x-2,2y),由点P在抛物线y2=x上得(2y)2=2x-2,整理得y2=12(x-1).故选D.【加固训练】长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,则AB中点C的轨迹是()A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线【解析】选B.设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则x=a2,y=b2,即a=2x,b=2y.代入a2+b2=9,得4x2+4y2=9,即x2+y2=94.3.(2015·洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是()A.32x2+3y2=1(x>0,y>0)B.32x2-3y2=1(x>0,y>0)C.3x2-32y2=1(x>0,y>0)D.3x2+32y2=1(x>0,y>0)【解题提示】利用点Q与点P关于y轴对称求得Q点的坐标,然后利用=2,·=1即可求出点P的轨迹方程.【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=32x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为32x2+3y2=1(x>0,y>0).4.(2015·长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.224x4y2125=1B.224x4y2125=1C.224x4y2521=1D.224x4y2521=1【解析】选D.因为M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故点M的轨迹为椭圆.所以a=52,c=1,则b2=a2-c2=214,所以椭圆的标准方程为224x4y2521=1.【加固训练】如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于点E,则点E的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.由题意知,|EA|+|EO|=|EB|+|EO|=r(r为圆的半径)且r>|OA|,故E的轨迹为以O,A为焦点的椭圆,故选B.5.已知定点A(1,0)和定直线l:x=-1,在l上有两动点E,F且满足⊥,另有动点P,满足∥,∥(O为坐标原点),且动点P的轨迹方程为()A.y2=4xB.y2=4x(x≠0)C.y2=-4xD.y2=-4x(x≠0)【解析】选B.设P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不为零),由∥⇒y1=y,即E(-1,y).由∥⇒y2=-yx,由⊥⇒y2=4x(x≠0).二、填空题(每小题5分,共15分)6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(-2,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β[0,1]∈且α+β=1,则点C的轨迹方程是.【解题提示】设出C点坐标(x,y),然后借助=α+β,用x,y分别表示α,β,最后利用α+β=1求点C的轨迹方程.【解析】设C(x,y),则x2,y3,整理得3xy,5x2y,5将其代入α+β=1中整理得2x-y+5=0,又x=-2α-β=-2α-(1-α)=-α-1[-2,-1],∈所以点C的轨迹方程是2x-y+5=0,x[-2,-1].∈答案:2x-y+5=0,x[-2,-1]∈7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛线物的焦点轨迹方程是.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:22xy43=1(y≠0)8.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点的椭圆经过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是.【解析】由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又因为|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.又c=7,a=1,b2=48,所以点F的轨迹方程为y2-2x48=1(y≤-1).答案:y2-2x48=1(y≤-1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·宜宾模拟)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·,·,·成公差小于零的等差数列,求点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),则=(x+1,y...
