专题跟踪突破 10 与圆有关的证明及计算1．(导学号：01262163)(2025·百色)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若 AE＝EC＝2，求⊙O 的半径．(1)证明： AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°， AC 为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°， OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)解： ∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE， AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2，设⊙O 的半径为 x，则 OA＝OD＝x，则 Rt△AOC 中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2＋x)2，解得 x＝.∴⊙O 的半径为2．(导学号：01262164)(2025·东营)如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AC 于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB 是圆的切线；(2)若点 E 是 BC 上一点，已知 BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．(1)证明： BC 是直径，∴∠ BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°， ∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°∴∠ABC＝90°∴AB⊥BC，∴AB 是圆的切线(2)解：在 Rt△AEB 中，tan∠AEB＝，∴＝，即 AB＝BE＝，在 Rt△ABC 中，＝，∴BC＝AB＝10，∴圆的直径为 103．(导学号：01262165)(2025·贺州)如图，在△ABC 中，E 是 AC 边上的一点，且 AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，交 BE 于点 F.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若 AB＝8，BC＝6，求 DE 的长．(1)证明： AE＝AB，∴△ABE 是等腰三角形，∴∠ABE＝ (180°－∠BAC)＝90°－∠BAC， ∠BAC＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠BAC，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝(90°－∠BAC)＋∠BAC＝90°，即 AB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线(2)解：连接 BD， AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， ∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC， ∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝， 在 Rt△ABC 中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∴＝，解得 AD＝6.4， AE＝AB＝8，∴DE＝AE－AD＝8－6.4＝1.64．(导学号：01262166)(2025·常德)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且 BD＝BC，延长 AD 到 E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若 BC＝，AC＝5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长．(1)证明：连接 OB， BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD, ∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠E...
