中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系． 圆的切线性质与判定【例 1】(2025 天水中考)如图，点 D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)推断直线 CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点 B 作⊙O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC＝2，⊙O 的半径是 3，求 BE 的长．【思路分析】(1)连接 OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出 DC，由切线长定理得出 DE＝EB，在 Rt△CBE 中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【学生解答】解：(1)直线 CD 和⊙O 的位置关系是 相切．理由是：连接 OD. AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°. ∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°. OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即 OD⊥CE，∴直线 CD 是⊙O 的切线，即直线 CD 和⊙O 的位置关系是相切；(2) AC＝2，⊙O 的半径是 3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在 Rt△CDO 中，由勾股定理得 CD＝4. CE 切⊙O 于点D，EB 切⊙O 于点 B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设 DE＝EB＝x，在 Rt△CBE 中，由勾股定理，得 CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得 x＝6，即 BE＝6.1．(2025 毕节中考)如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于点 F，AC＝FC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径 R＝5，EF＝3，求 DF 的长．解：(1)如图，连接 AE，AO. BE 为半圆，∴∠BAE＝90°. BD＝ED，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴∠AFC＝∠B＋45°，∴∠CAF＝∠EAC＋45°. AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B＝∠EAC. OA＝ OB ， ∴ ∠ OAB ＝ ∠ B ， ∴ ∠ EAC ＝ ∠ OAB ， ∴ ∠ OAC ＝ ∠ OAE ＋ ∠ EAC ＝ ∠ OAE ＋ ∠ OAB ＝ ∠ BAE ＝90°，∴AC⊥OA，∴AC 为⊙O 为切线；(2)如图，连接 OD. BD＝DE，∴∠BOD＝∠DOE＝90°.在 Rt△OFD中 ，OF＝5...
