专题十一 四边形的综合应用(针对四川中考特别四边形的综合应用)1．(导学号 14952502)(2025·广元预测)在▱ABCD 中，点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC；(2)请直接写出图②，图③中 BP，BQ，BC 三者之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若 DQ＝1，DP＝3，则 BC＝__2 或 4 __．解 ： (1) 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴ AD∥BC ， AD ＝ BC ， ∴ ∠ ADB ＝∠CBD， AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ， AD＝BD，AD＝BC ， ∴ BD ＝ BC ， BD ＝ BP ＋ DP ， ∴ BC ＝ BP ＋ BQ (2) 图 ② ， BQ － BP ＝ BC ， 理 由 ： AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD， AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ， AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ (3)图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2 或 42．(导学号 14952503)(2025·南平)已知在矩形 ABCD 中，∠ADC 的平分线 DE 与 BC 边所在的直线交于点 E，点 P 是线段 DE 上一定点(其中 EP＜PD)．(1)如图 1，若点 F 在 CD 边上(不与 D 重合)，将∠DPF 绕点 P 逆时针旋转 90°后，角的两边 PD，PF 分别交射线 DA 于点 H，G.① 求证：PG＝PF； ② 探究：DF，DG，DP 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)拓展：如图 2，若点 F 在 CD 的延长线上(不与 D 重合)，过点 P 作 PG⊥PF，交射线DA 于点 G，你认为(1)中 DF，DG，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．解：(1)① ∠GPF ＝ ∠ HPD ＝ 90° ， ∠ ADC ＝ 90° ， ∴ ∠ GPH ＝ ∠ FPD ， DE 平 分∠ADC，∴∠PDF＝∠ADP＝45°，∴△HPD 为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDF＝45°，在△HPG 和△DPF 中， ∴△HPG≌△DPF(ASA)，∴PG＝PF；②结论：DG＋DF＝DP，由①知，△HPD 为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD＝DP，HG＝DF，∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，∴DG＋DF＝DP (2)不成立，数量关系式应为：DG－DF＝DP，如图，过点 P 作 PH⊥PD交射线 DA 于点 H， ...
