专题四 线段和的最小值问题纵观贵阳 5 年中考，2025 年和 2025 年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第 24 题、25 题，以解答题的形式出现，分值为 12 分，难度较大．估计 2025 贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度．,中考重难点突破) 线段的最小值【经典导例】【例】(六盘水中考)(1)观察发现如图①，若点 A，B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP＋BP 的值最小，做法如下：作点 B 关于直线 m的对称点 B′，连接 AB′，与直线 m 的交点就是所求作的点 P，线段 AB′的长度即为 AP＋BP 的最小值． 如图②，在等边三角形 ABC 中，AB＝2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP＋PE 的值最小，做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求作的点 P，故 BP＋PE 的最小值为________．(2)实践运用如图③，已知⊙O 的直径 CD 为 2，AC︵的度数为 60°，点 B 是AC︵的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP＋AP 的值最小，则 BP＋AP 的最小值为________． (3)拓展延伸如图④，点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB，BC 上作出点 M，点 N，使 PM＋PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【解析】(1)利用作法得到 CE 的长为 BP＋PE 的最小值；由 AB＝2，点 E 是 AB 的中点，根据等边三角形的性质得到 CE⊥AB，∠BCE＝12∠BCA＝30°，BE＝1，再根据含 30°的直角三角形三边的关系得到 CE 的长度．CE 的长为BP＋PE 的最小值． 在等边三角形 ABC 中，AB＝2，点 E 是 AB 的中点，∴CE⊥AB，∠BCE＝12∠BCA＝30°，BE＝1，∴CE＝BE＝.故答案为；(2)过 B 点作弦 BE⊥CD ，连接 AE 交 CD 于 P 点，连接 OB，OE，OA，PB，根据垂径定得到 CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则 AE 的长就是 BP＋AP 的最小值． 【 学 生 解 答 】 解 ： (1) ； (2) 实 践 运 用 如 解 图 ① ， 过 B 作 弦 BE⊥CD ， 连 接 AE 交 CD 于 P 点 ， 连 接OB，OE，OA，PB. BE⊥CD，∴CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称． AC︵的度数为 60°，点 B 是AC︵的中点，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠EOC＝30°，∴∠AOE＝60°＋30°＝90°， OA＝O...
